# 正規分布

# 正規分布(std::normal_distribution<RealType>)

std::normal_distribution<RealType>は浮動小数点数型の乱数$x$を以下の確率密度関数に従って分布する。

$$ (x,|,\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \cdot % e^{-(x-\mu)^2 / (2\sigma^2)} \exp{\left(- , \frac{(x - \mu)^2} {2 \sigma^2} \right) } \text{ .} $$

分布パラメーターのうちの$\mu$と$\sigma$は、それぞれ分布の平均(mean)、標準偏差(standard deviation)とも呼ばれている。

変数の宣言:

std::normal_distribution<RealType> d( mean, stddev ) ;

RealTypeは浮動小数点数型でデフォルトはdouble。mean, stddevは浮動小数点数型。meanは平均。stddevは標準偏差で値の範囲は$0 < \text{stddev}$。

使い方:

int main()
{
    std::mt19937 e ;
    std::normal_distribution d( 0.0, 1.0 ) ;
    d.mean() ; // 0.0
    d.stddev() ; // 1.0

    for ( int i = 0 ; i != 10 ; ++i )
    {
        std::cout << d(e) << ", "sv ;
    }  
}

# 対数正規分布(std::lognormal_distribution<RealType>)

std::lognormal_distribution<RealType>は浮動小数点数の乱数$x > 0$を以下の確率密度関数に従って分布する。

$$ p(x,|,m,s) = \frac{1}{s x \sqrt{2 \pi}} \cdot \exp{\left(-\frac{(\ln{x} - m)^2}{2 s^2}\right)} \text{ .} $$

変数の宣言:

std::lognormal_distribution<RealType> d( m, s ) ;

RealTypeは浮動小数点数型でデフォルトはdouble。m, sはRealType型。値の範囲は$0 < s$。

使い方:

int main()
{
    std::mt19937 e ;
    std::lognormal_distribution d( 0.0, 1.0 ) ;
    d.m() ; // 0.0
    d.s() ; // 1.0

    for ( int i = 0 ; i != 10 ; ++i )
    {
        std::cout << d(e) << ", "sv ;
    }  
}

# カイ二乗分布(std::chi_squared_distribution<RealType>)

std::chi_squared_distribution<RealType>は浮動小数点数型の乱数$x > 0$を以下の確率密度関数に従って分布する。

$$ p(x,|,n) = \frac{x^{(n/2)-1} \cdot e^{-x/2}}{\Gamma(n/2) \cdot 2^{n/2}} \text{ .} $$

変数の宣言:

std::chi_squared_distribution<RealType> d( n ) ;

RealTypeは浮動小数点数型でデフォルトはdouble。nはRealType型。値の範囲は$0 < n$。

使い方:

int main()
{
    std::mt19937 e ;
    std::chi_squared_distribution d( 1.0 ) ;
    d.n() ; // 1.0

    for ( int i = 0 ; i != 10 ; ++i )
    {
        std::cout << d(e) << ", "sv ;
    }  
}

# コーシー分布(std::cauchy_distribution<RealType>)

std::cauchy_distribution<RealType>は浮動小数点数型の乱数$x$を以下の確率密度関数に従って分布する。

$$ p(x,|,a,b) = \left(\pi b \left(1 + \left(\frac{x-a}{b} \right)^2 , \right)\right)^{-1} \text{ .} $$

変数の宣言:

std::cauchy_distribution<RealType> d( a, b ) ;

RealTypeは浮動小数点数型でデフォルトはdouble。a, bはRealType型。値の範囲は$0 < b$。

使い方:

int main()
{
    std::mt19937 e ;
    std::chi_squared_distribution d( 0.0, 1.0 ) ;
    d.a() ; // 0.0
    d.b() ; // 1.0

    for ( int i = 0 ; i != 10 ; ++i )
    {
        std::cout << d(e) << ", "sv ;
    }  
}

# フィッシャーの$F$分布(std::fisher_f_distribution<RealType>)

フィッシャーの$F$分布(Fisher's $F$-distribution)の名前は数学者サー・ロナルド・エイルマー・フィッシャー(Sir Ronald Aylmer Fisher)に由来する。

std::fisher_f_distribution<RealType>は浮動小数点数の乱数$x > 0$を以下の関数密度関数に従って分布する。

$$ p(x,|,m,n) = \frac{\Gamma\big((m+n)/2\big)}{\Gamma(m/2) ; \Gamma(n/2)} \cdot \left(\frac{m}{n}\right)^{m/2} \cdot x^{(m/2)-1} \cdot \left(1 + \frac{m x}{n}\right)^{-(m + n)/2} \text{ .} $$

変数の宣言:

std::fisher_f_distribution<RealType> d( m, n ) ;

RealTypeは浮動小数点数型でデフォルトはdobule。m, nはRealType型。値の範囲は$0 < m$ かつ $0 < n$。

使い方:

int main()
{
    std::fisher_f_distribution d( 1.0 ) ;
    d.n() ; // 1.0

    std::mt19937 e ;
    d(e) ;
}

# スチューデントの$t$分布(std::student_t_distribution<RealType>)

スチューデントの$t$分布(Student's $t$-distribution)はウィリアム・シーリー・ゴセット(William Sealy Gosset)によって考案された。当時、ウィリアムはギネス醸造所で働いていたが、ギネスは従業員に科学論文を発表することを禁じていたために、ウィリアムはスチューデントという偽名で発表した。

std::student_t_distribution<RealType>は浮動小数点数型の乱数$x$を以下の確率密度関数に従って分布する。

$$ p(x,|,n) = \frac{1}{\sqrt{n \pi}} \cdot \frac{\Gamma\big((n+1)/2\big)}{\Gamma(n/2)} \cdot \left(1 + \frac{x^2}{n} \right)^{-(n+1)/2} \text{ .} $$

変数の宣言:

std::student_t_distribution<RealType> d( n ) ;

RealTypeは浮動小数点数型でデフォルトはdouble。nはRealType型で、値の範囲は$0 < n$。

使い方:

int main()
{
    std::student_t_distribution d( 1.0 ) ;
    d.n() ; // 1.0

    std::mt19937 e ;
    d(e) ;
}